İleri Matematik: İntegral Dönüşümleri
İntegral dönüşümlerini, iki fonksiyonun etkilerinin bir evrişim integrali kullanılarak nasıl birleştirileceğini, evrişimleri gerçek hayat uygulamalarını tanımlamak için nasıl kullanılacağımızı, periyodik sinyallerin Fourier serisi olarak nasıl ifade edileceğini, Fourier dönüşümlerini kullanarak zaman alanı ve frekans alanı fonksiyonlarının nasıl ifade edileceğini öğreneceğiz.
İntegral dönüşümler sinyallerin analiz edilmesinde, işlenmesinde ve dönüştürülmesinde önemli bir rol oynar. Bundan dolayı pratik uygulamalarda büyük önem taşıyan iki dönüşüm olan, evrişimlere ve Fourier dönüşümlerine odaklanacağız.
Evrişimler, iki fonksiyonun birbiriyle nasıl etkileşime girdiğini, örneğin bir sensörün veya ölçüm cihazının sonlu çözünürlüğünün, bu cihaz tarafından ölçülen miktarın değerini nasıl etkilediğini açıklar. Periyodik sinyalleri analiz etmek ve tanımlamak için Fourier serileri ve Fourier dönüşümleri kullanılır. Bu biçimcilik, gözlemlenen sinyalleri farklı frekans ve yoğunluktaki sinyallerin üst üste binmesi olarak ifade etmemize ve (gözlenen) zaman alanı ile frekans alanındaki eşdeğer açıklamalar arasında geçiş yapmamıza olanak tanır. Bu, bazı dönüşümlerin veya filtrelerin bir alanda diğerine göre daha kolay uygulanması nedeniyle sinyallerin işlenmesini çok daha kolay hale getirebilir.
Evrişimler (Convolutions)
Herhangi bir miktarı ölçmek için bir ölçüm cihazına güvenmek zorundayız. Örneğin bir sıcaklığı ölçmek için, araştırmak istediğimiz maddenin sıcaklığını bize söyleyen bir termometre kullanırız. Ancak bu basit yaklaşım tam olarak doğru değildir. Ölçüm, asıl “gerçek” fiziksel miktarı (sıcaklık gibi) yansıtmaz ancak ölçüm cihazının içsel çözünürlüğüden etkilenip bozulur. Dedektörler sonsuz derecede hassas değildir ancak yalnızca dedektörün çözünürlüğü ile belirlenen belirli bir hassasiyete kadar olan bir miktarı ölçebilirler.
Ölçülen miktarın, örneğin sıcaklığın, soyut bir miktar olarak mevcut olmadığını, her zaman gerçek, fiziksel bir sistemle ilişkili olduğunu akılda tutmak önemlidir. Bu nedenle, matematiksel anlamda bu özellikle ilişkilendirilen tek bir değer yoktur ve her zaman olasılıklar ve olasılık dağılımları tarafından ele alınırlar. Bu, aynı ölçümü tekrarlamaya devam edersek, cihazın içsel çözünürlüğü tarafından belirlenen aynı “gerçek” fiziksel değerler için biraz farklı sayısal değerler elde edeceğimiz anlamına gelir. Bu tür çözünürlükler için bu olasılıkları gösteren örnekler aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
İyi bir termometre yüksek çözünürlüğe sahip olabilir ve tarafsız bir ölçüm verebilir. Bu, termometrenin “gerçek” değeri göstermediği, bunun yerine gerçek değerin etrafında rastgele dalgalanan bir değer döndürdüğü anlamına gelir. Bu özelliğe sahip bir termometrenin ölçümleri kırmızı kesikli çizgiyle gösterilmiştir. Ölçümü birçok kez tekrarlayarak cihazın çözünürlüğünü ve dolayısıyla bu termometreyle yapılan ölçümlerin içsel geçiciliğini belirlemek mümkündür.
Siyah düz çizgi ise daha düşük çözünürlüklü bir termometrenin okumalarını göstermektedir; değerler hala “gerçek” değer etrafında rastgele dalgalanmaktadır ancak cihazın çözünürlüğünün düşük olması nedeniyle dalgalanmalar daha güçlüdür.
Son olarak, mavi noktalı çizgi, ölçüm cihazının kendisi bir sapma meydana getirirse ne olacağını gösterir. Bu durumda ölçülen değerler artık “gerçek” olanlara sadık değildir; aracın çözünürlüğü uzun kuyruklarla asimetriktir, bu da içsel dalgalanmaların daha yüksek değerlere doğru eğilimli hale geldiğini gösterir.
“Sadık” ve “gerçek” fikirlerini daha matematiksel olarak ifade etmek için, ölçülen maddenin gerçek değerlerini temsil eden bir f(x) fonksiyonuna sahip olmamız gerektiğini not ediyoruz. Dünyamızdaki sistemlerin, nesnelerin ve süreçlerin büyük çoğunluğu stokastiktir (kesin olarak hesaplanabilen deterministik sistemlerin aksine, olasılık yasalarına tabidir). Bu, gözlemlediğimiz herhangi bir değer veya sayının rastgele olduğu, ancak bu sistemle ilgili belirli bir süreç tarafından yönetilen farklı bir olasılık dağılımını takip ettikleri anlamına gelir. Elbette bunun dikkate değer istisnaları var, aksi takdirde bir saat yapmak zor olurdu. Ancak olasılık ve olasılık dağılımları açısından muntazam bir hesaplama yapmak için atom ölçeği, rüzgâr hızı veya süpermarketteki müşterilerin alışveriş davranışlarına kadar her şeyin bilinmesi gerekir. Yukarıdaki örnekte f(x), incelemek istediğimiz maddeyle ilgili temel fiziksel sürecin gerçek sıcaklığının dağılımını tanımlayacaktır.
Cihazın kendisi, “gerçek” değerlerin nasıl gözlemlendiğini belirleyen bir çözünürlük fonksiyonu g(y) (yüksek veya düşük çözünürlükle, taraflı veya tarafsız gibi) ile temsil edilir. Ölçümler, hem f(x) tarafından tanımlanan gerçek temel bir durumla hem de g(y) çözünürlük fonksiyonuna bağlı olan bir h(z) fonksiyonu ile temsil edilir. X, y ve z değişkenlerinin tümü aynı miktarı tanımlar; bizim örneğimizde bu değer sıcaklıktır. Ancak, bunların her biri değerlendirmeye farklı bir noktada girmektedir: x “gerçek” değerdir, y çözünürlüktür ve z ise sonunda gözlemlediğimiz çıktıdır. Etkili bir şekilde, çözüm “gerçek” değerin gözlemlenmesinde sistematik bir hataya neden olur. Eğer ölçüm cihazı önyargılı ise, bu hatanın bulunma ihtimali bir yönde diğer yöne göre çok daha olasıdır. Önceki şekilde gösterilen örnekte çözünürlük fonksiyonu daha büyük, daha pozitif değerlere meyillidir ve dolayısıyla bu durumda negatif değerlere göre daha pozitif değerler gözlemlenecektir.
Şimdi evrişimlerin nasıl çalıştığına dair daha ayrıntılı bir sezgi oluşturalım. Genel olarak x’in gerçek değeri, farklı bir olasılık dağılımından alınan rastgele bir sayı olduğundan, x’i elde etme olasılığının tam olarak sıfır olduğunu biliyoruz. Bunun yerine f(x) dağılımını kullanarak (x, x+dx) aralığında gerçek değeri alma olasılığını hesaplayabiliriz. f(x) herhangi bir x’in olasılığını tanımladığından, bu f(x)dx ile verilir. Daha sonra, bu değeri ölçecek bir cihaza ihtiyacımız olduğundan, g(y) çözünürlük fonksiyonunu dahil etmemiz gerekir, böylece sonunda z değerini gözlemleyebiliriz. Ölçüm cihazı genellikle gerçek değeri, gözlemlenen değere meyiller, dolayısıyla x’i değil, z — x miktarı kadar, yani aralarındaki fark kadar meyillenen z’yi gözlemleriz.
Genel olarak x’in gerçek değerini bilemeyeceğimizi unutmayın. Tarafsız bir araç kullanılması durumunda, çözünürlük gerçek değerleri “kirletecek” ve böylece ortaya çıkan dağılım gerçek, fiziksel olandan daha geniş dağılım olacaktır. Önyargılı bir araç olması durumunda, bu adım aynı zamanda bir yönde daha fazla meyillenmeyi içerecektir. Dolayısıyla, orijinal dx aralığı dz aralığına dönüştürülür ve aletin genel etkisi g(z − x)dz ile verilir. Daha sonra gerçek değer ve alet için olasılıkları birleştirebilir ve belirli bir gözlem için f(x)dxg(z − x)dz’yi elde edebiliriz. Bunu herhangi bir değer için ifade etmek amacıyla, gözlemlenebilir tüm z değerlerinin dağılımını elde etmek amacıyla x’in tüm olası değerleri üzerinden integral almamız gerekir.
Yukarıdaki denkleme f ve g fonksiyonlarının evrişimi adı verilir ve genellikle f∗ g ile gösterilir. Aşağıdaki figürde iki basit fonksiyonun iki evrişim örneği gösterilmektedir. Her iki durumda da, iki düzgün fonksiyon küçük bir aralıkta sıfırdan farklıdır ve birbirleriyle evrişimlidir. En üstteki örnekte, iki fonksiyon birbirinden ayrılmıştır; bu, tanım kümesinde her ikisinin de sıfırdan farklı olduğu hiçbir kısım olmadığı anlamına gelir. Diğer durumda, iki fonksiyonun sıfırdan farklı olduğu aralıklar örtüşür. Evrişimler grafiklerin sağ sütununda gösterilmektedir. Evrişimli fonksiyonların şeklinin orijinal fonksiyonların şekliyle aynı olmadığını unutmayın; iki tek biçimli fonksiyon evrildiğinde “üçgen” bir şekil kazanır.
Çoğu fonksiyon tekdüze fonksiyonlar değildir. İncelemekle ilgilendiğimiz fonksiyonlara daha çok benzeyen fonksiyonlara sahip bir örnek aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Bu durumda “gerçek” değerler bir Γ fonksiyonuna (siyah, katı) göre dağıtılır. Ölçüm cihazı, ortalaması sıfır ve standart sapması 1 olan tarafsız bir Gauss çözünürlük fonksiyonu ile temsil edilir. Gözlemlenen değerler daha sonra sağdaki grafikte gösterildiği gibi her iki fonksiyonun evrişimine göre dağıtılır.
Bu, ölçülen değerlerle uğraşırken karşılaşılan tipik bir tuzağı göstermektedir. “Gerçek” değerlerin kesinlikle pozitif olduğunu bilmemize rağmen (soldaki şekilde siyah düz eğri ile gösterildiği gibi), gözlemlenen değerler ölçüm cihazının sonlu çözünürlüğü nedeniyle negatif de olabilir. Somut soruna bağlı olarak, bu değerlerin fiziksel sınırları ihlal edebileceğinden ekstra dikkatle ele alınması gerekir.
Görüntü İşleme Uygulamaları
Evrişimler görüntü işlemede önemli bir rol oynar ve (geleneksel) görüntü filtrelerinin ve evrişimli sinir ağlarının merkezinde yer alır. F ve g’yi (gerçek) bir sinyal ve çözünürlük fonksiyonu olarak yorumlamak yerine, fonksiyonlardan biri, örneğin f, görüntüyü, diğeri (g) ise görüntü üzerinde işlem yapmak için kullanılan bir çekirdeği temsil eder. Uygun bir çekirdek verildiğinde bu, bulanıklaştırma, keskinleştirme ve kenar algılama gibi çok çeşitli uygulamalar için kullanılabilecek bir filtreyi tanımlar. Çekirdek genellikle K (kernel) veya ω ile gösterilir. Bu bölümde, bir görüntüyü bulanıklaştırmak için evrişimin nasıl kullanılabileceğini tartışacağız. Bunu yapmak için görüntünün her parçası x ve y yönlerinde bir Gauss filtresiyle evrilir, özellikle görüntünün her parçasına iki boyutlu (veya çok değişkenli) bir Gaussian uygularız. İki boyutlu fonksiyon aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
Görüntüler söz konusu olduğunda, görüntüler (x, y, r, g, b) biçimindeki bireysel piksellerin koleksiyonları ile temsil edilebildiğinden, bağımsız verilerle çalışıyoruz. Burada x ve y, görüntüdeki pikselin konumunu verir ve r, g ve b’ye o pikseldeki kırmızı, yeşil ve mavinin göreceli düzeylerini verin. Yukarıda gösterdiğimiz ürekli evrişim integral formülü ayrık durumda toplam olur.
Gauss bulanıklığı durumunda çekirdek, görüntünün her bir kısmına uygulanan aşağıdaki matris tarafından verilir.
Bu şekilde, her pikselin dönüştürüldüğü değer, göreceli ağırlıklarının çekirdek tarafından verildiği komşu piksellerden etkilenir. Aşağıdaki şekil böyle bir çekirdeğin bir görüntüye uygulanmasının etkisini göstermektedir.
Fourier Dönüşümü
Fourier Serisi
Taylor açılımının bir sinyali veya fonksiyonu tahmin etmek için nasıl kullanılabileceğini daha önce görmüştük. Bununla birlikte, Taylor açılımları bunu yapmanın tek yolu değildir. Fourier serisi, özellikle çok çeşitli doğal sistemlerde ve mühendislik sistemlerinde bulunanlar gibi periyodik sinyallere çok uygundur. Fourier serisinin ana fikri, sinyali değişen güç ve frekanstaki sinüs ve kosinüs bileşenlerinin toplamı olarak ifade etmektir. Aşağıda yalnızca tek değişkenli fonksiyonları, yani tek değişkene bağlı fonksiyonları ele alacağız. Ancak Fourier serisi kavramı çok değişkenli fonksiyonlara da genişletilebilir. Bir fonksiyona yönelik Fourier serisi oluşturmak için sinyalin aşağıdaki Dirichlet koşullarını sağlaması gerekir:
- Fonksiyon periyodik olmalıdır.
- Fonksiyonun bir periyot içinde en fazla sonlu sayıda süreksizliği olması gerekir (testere dişi fonksiyonu gibi).
- Her periyotta fonksiyonun sonlu sayıda maksimum veya minimum değeri olmalıdır.
- Fonksiyonun tek bir periyottaki integrali mevcut ve sonlu olmalıdır.
Fonksiyonun periyodik olması şartı şu şekilde gösterilebilir f(x+L)=f(x)=f(x+nL); diğer bir deyişle fonksiyon L periyodunun tamamı geçtikten sonra kendini tekrar eder. Bu aynı zamanda sinyalin ne başlangıcı ne de sonu olduğu anlamına gelir. Pratikte tek bir tam periyot için L yerine 2L kullanılmasının da yaygın bir gösterim olduğuna dikkat edin. Pratik uygulamalarda, örneğin sinyalin gözlemlenen sinyalin ötesinde aynı yapıyı takip ettiği varsayılarak sonlu sinyallerle nasıl başa çıkılacağı düşünülmelidir. Bir sinyalin sinüs ve kosinüs dalgalarının toplamına ayrıştırılması sözü verilen Fourier serisi şu şekilde verilir:
L periyodu 2π’ye eşit olduğunda, bu denklem basitleşir:
Aşağıdaki şekil yalnızca bir frekansın katkıda bulunduğu periyodik sinüzoidal sinyali göstermektedir, yani f(t) = sin(ωt). Şeklin sol kısmı zaman alanındaki sinyali, yani sinyali zamanın farklı noktalarında ölçtüğümüzde ne gözlemleyeceğimizi gösterir. Şeklin sağ kısmı hangi frekansların sinyale katkıda bulunduğunu gösterir ve bize Fourier serisindeki hangi katsayıların sıfırdan farklı olduğunu söyler.
Bir sonraki görsel, daha düşük frekanslı sinyalin (önceki şekildekiyle aynı) on kat daha hızlı bir sinyalle kaplandığı, biraz daha karmaşık bir sinyali göstermektedir. Sonuçta ölçeceğimiz periyodik sinyal, yani zaman alanında, şeklin sol tarafında gösterilmektedir. Şeklin sağ kısmı bu sinyale katkıda bulunan iki frekansı göstermektedir. “Periyodik Testere Dişi Sinyali” başlıklı grafik, elektrik mühendisliğinde sıklıkla karşılaşılan bir sinyali daha gerçekçi bir şekilde göstermektedir. Her periyotta testere dişi sinyali minimum ve maksimum değerler arasında doğrusal olarak yükselir ve sinyal maksimuma ulaştığında minimuma düşer. Şeklin sol kısmı zaman alanında ölçülen sinyali, sağ kısmı ise sinyalin ölçümünü gösterir. Bu daha karmaşık sinyali oluşturmak için Fourier serisindeki birçok katsayıya ihtiyaç duyulduğunu ve her sinyalin katkısının ağırlığının üstel olarak sönümlendiğini göstermektedir.
Trigonometrik fonksiyonlar ile karmaşık değerli üstel fonksiyonlar arasındaki temel ilişkiyi kuran Euler formülünü (eiΦ = cos Φ + i sin Φ) hatırlayın. Birçok uygulamada, Fourier serisindeki sinüs ve kosinüs terimlerini hayali argümanlarla üstel fonksiyonlarla ifade etmek için Euler’in öngörüsünü kullanmak yararlı olur. Bunu yapmak için :
Bunları denklem aşağıdaki denkleme eklersek:
Fourier serisi şu şekilde ifade edilebilir:
Fourier Dönüşümleri
Yukarıdaki denklemde Fourier serisini karmaşık fonksiyonların sonsuz toplamı olarak ifade ettik, yine de basitlik açısından L periyodunun 2π’ye eşit olduğunu varsayalım. Bu varsayımı gevşetirsek Fourier serisi şu şekilde yazılabilir:
Bu, ω = 2πn/L frekansı kullanılarak şu şekilde ifade edilebilir:
Daha önce, L periyodunu her zaman, sonrasında fonksiyonun tekrar ettiği sonlu bir aralık olarak yorumluyorduk — aslında bu, Fourier serisini tartışırken temel varsayımlarımızdan biriydi. Şimdi büyük periyotların yani sinyalin yalnızca çok uzun bir süre sonra tekrarlandığı L → ∞ periyotların limitini ele alıyoruz,. Şu ana kadar ele aldığımız sinüs ve kosinüs terimlerindeki sabit frekanslar yerine, Δω=2π/L frekanslarındaki fark son derece küçük hale gelir ve frekanslar, bu bölümdeki ilk iki örnekte gördüğümüz ayrık değerler yerine bir süreklilik haline gelir. Fourier serisi denkleminde cn katsayılarının şu şekilde verildiğini hatırlayalım:
Burada yine keyfi bir L ve ωn periyoduna, ωn = 2πn/L ile verilen n katsayılarının endeksinin ayrık bir fonksiyonuna izin verdik. İntegral limitlerinde x0, genellikle -L/2 olarak alınan keyfi bir sabittir. Aslında tam periyodu belirtmek için sıklıkla 2L kullanılmasının nedeni budur, böylece integralin limitleri -L/2 ve L/2 yerine alt limit için -L ve üst limit için L yazılabilir. Bu ifadeyi karmaşık Fourier serisinin katsayıları yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
burada çeşitli değişkenler ve bunların neyi ifade ettiğiyle ilgili karışıklığı önlemek için cn ifadesinde x yerine u’yu kullandık. Şimdi uzun periyotların limitini ele alıyoruz, yani L → ∞, bu da Δω → 0 anlamına gelir. O zaman toplam:
Aşağıdaki integral’dir:
Bizim durumumuzda g(ω) fonksiyonu şu şekilde verilir:
x0 sabitini şimdi -L/2 olarak seçtik. Bunu bir araya getirdiğimizde integral şu hale gelir:
Buradan f(x) fonksiyonunun Fourier dönüşümünü şöyle tanımlarız:
Burada u’dan x’e geri döndük. Ters Fourier dönüşümünü de şu şekilde tanımlayabiliriz:
Normalleştirme faktörü 1/2π, Fourier dönüşümü ile bunun tersi arasında 1/2π olarak eşit olarak bölünür; bu, faktörün hangi denkleme eklenmesi gerektiğini hatırlama zorunluluğunu ortadan kaldırır. Fourier dönüşümünü ve tersini karıştırma riski yoksa, f (ω)’deki yaklaşık işaretinin genellikle düşürüldüğünü unutmayın.
Fourier dönüşümünü kullanarak, bir sinyali analiz etmenin iki eşdeğer görünümü arasında, ya “gözlemlenebilir” alan f(x)’te ya da frekans alanı f(ω) arasında geçiş yapabiliriz. Çoğu fonksiyon zamana bağlı fonksiyon veya sinyal olarak gözlemlendiğinden, zamana bağlılığı belirtmek için genellikle f(x) yerine f(t) kullanırız. Aslında, önceki üç rakamın sol ve sağ kısımları ya zaman alanına (sol kısım) ya da frekans alanına (sağ kısım) karşılık gelir. Bir sinyalin bu eşdeğer temsilleri arasında geçiş yapabilmenin temel avantajı, bazı işlemlerin bir alanda çok karmaşık, diğerinde ise çok kolay olabilmesidir. Örneğin frekans filtresini uygulamak zaman alanında çok zor, frekans alanında ise kolaydır. Somut olarak, “İki Katkıda Bulunan Frekanslı Periyodik Sinüs Sinyali” başlıklı şekildeki periyodik sinyali ele alıyoruz. Frekans spektrumundan bunun, düşük frekanslı sinüs fonksiyonunun yüksek frekanslı sinüs fonksiyonuyla birleştirildiği basit bir sinyal olduğunu biliyoruz.
Düşük geçirgenli (yalnızca düşük frekansların geçmesine izin veren) bir filtre kullanarak sinyalin düşük frekanslı kısmını çıkarabiliriz. Bu işlemi, sinyali gözlemlediğimiz zaman alanında yapmak çok zor olabilir, ancak frekans alanında önceki şekilde gösterilen sönümleme fonksiyonunu uygulayarak bunu kolayca başarabiliriz. Tahmin edilebileceği gibi basit bir dikdörtgen kullanmak yerine, “yumuşatılmış” bir dikdörtgen fonksiyonu kullanıyoruz. Bu basit örnekte bu çok az fark yaratacaktır, ancak daha karmaşık örneklerde yumuşak sönümleme, keskin bir kesmenin neden olabileceği artifektleri önler. Aşağıdaki şekil, istenildiği gibi zaman alanına geri dönerek düşük frekanslı sinyali çıkarabileceğimizi göstermektedir.
Örnek
t<0 için f(t)=0 olduğunu varsayarak, t≥0 için f(t)=Ae−λt fonksiyonunun Fourier dönüşümünü bulun.
Aşağıdaki denklemi kullanarak:
Şunu yazıyoruz:
Burada t<0 için f(t)=0 olduğunu varsaydığımızda integral sınırlarının sıfırdan ∞’a kadar değiştiğini not ediyoruz. ∫e^(ax)dx = 1/a*e^(ax) olduğu hatırlanarak integral şu şekilde hesaplanır:
Özet
Evrişimler, iki fonksiyonun etkilerinin nasıl birleştirilebileceğini matematiksel olarak ifade eder. Örneğin, bir fiziksel büyüklüğün bazı ölçüm cihazları tarafından alınan ölçümü, cihazın bazı detaylarına özgü bir çözünürlük fonksiyonu ve “gerçek” değer olarak ifade edilebilir. Gözlemlenen değer daha sonra “gerçek” değerin sonlu sensör çözünürlüğü ile evrişimidir.
Görüntü işlemede, belirli bir çekirdeğe sahip evrişimler, görüntüyü bulanıklaştırarak, keskinleştirerek, kenarları tespit ederek veya dönüştürerek görüntüleri değiştirmek için kullanılır. Periyodik sinyaller, sabit frekansların bir dizi sinüs ve kosinüs fonksiyonu olan Fourier serisi olarak ifade edilebilir. Serideki terimlerin katsayılarının göreceli ağırlığı, son sinyalin şeklini belirler. Fourier dönüşümleri, sabit frekansların sürekli bir spektrum haline geldiği giderek daha uzun periyotların sınırı olarak türetilebilir. Fourier dönüşümü kullanılarak bir fonksiyon orijinal biçiminde veya Fourier dönüşümü olarak ifade edilebilir. Bazı işlemlerin bir formda gerçekleştirilmesi diğerine kıyasla çok daha basittir, bu nedenle Fourier dönüşümü pratikte çok faydalıdır.
Kaynaklar
[1] KhanAcademyTurkce,(16 Ekim 2020),Evrişim İntegrali (Matematik) (Diferansiyel Denklemler):
[https://www.youtube.com/watch?v=dHYidsBtjJI]
[2] Wikipedia,(10 Nisan 2023), Fourier dönüşümü:
[https://tr.wikipedia.org/wiki/Fourier_d%C3%B6n%C3%BC%C5%9F%C3%BCm%C3%BC]
[3] BUDersBoğaziçilidenÖzelDers, (5 Mart 2019), Fourier Serileri (Fourier Series) : Fourier Serileri Kavramı Nedir?
